1. Quotients
Coller les bords
Toute surface de cette application part d'un carré plat (ou d'un disque). En identifiant certaines paires de bords — dans le même sens ou en sens inverse — on obtient des surfaces radicalement différentes. C'est le quotient topologique.
2. Caractéristiques
Invariants de topologie algébrique
Chaque surface possède des invariants topologiques — des propriétés qui ne changent pas quand on déforme continûment la surface (sans couper ni coller). Ils permettent de classifier les surfaces et de savoir si deux surfaces sont « la même » au sens topologique.
Noms des surfaces
En topologie on note souvent ℝ² le plan (sans point à l’infini), D² le disque fermé, S² la sphère, ℝP² le plan projectif réel. Ce sont les étiquettes du tableau ci‑dessous, à côté des invariants π₁, χ, H₂, orientabilité.
Groupe fondamental
Mesure les « lacets non contractibles ». {∅} = tout lacet se rétracte en un point (simplement connexe). ℤ = un lacet générateur (cylindre). ℤ² = deux lacets indépendants (tore).
Caract. d'Euler
χ = V − E + F (sommets − arêtes + faces). Invariant global de la forme. Sphère χ=2, tore χ=0, plan projectif χ=1. Lié au genre par χ = 2 − 2g (orientable).
Homologie H₂
Détecte les « cavités fermées ». H₂ = ℤ pour la sphère (elle entoure un volume), {∅} pour toutes les autres surfaces listées ici (pas de volume intérieur).
Orientabilité
○ = orientable (on peut distinguer intérieur/extérieur). ⊗ = non-orientable (impossible — une fourmi marchant sur un Möbius revient « à l'envers »).
Mot de Dehn
Mot (dans le groupe libre des bords) du polygone fondamental — les puissances négatives (a⁻¹) excluent le terme « polynôme ». Tore : aba⁻¹b⁻¹ (commutateur, deux paires croisées). Klein : aabb (deux paires torsadées). ℝP² / Steiner : aa (identification antipodale). Sphère : aa⁻¹ (bord « annulé »).
Liste des invariants
3. Transformations
Au sens strict, il s'agit d'homotopies entre immersions : des déformations continues qui respectent la topologie de la surface. L'application interpole entre paramétrisations — les rubans colorés sur les coutures matérialisent les identifications de bords.
- ⇌
- Homéomorphisme — déformation continue bijective ; les deux surfaces sont topologiquement identiques.
- ≈
- Quotient — identification de points ou de bords ; change la topologie de la surface.
- ⧉
- Torsion — retournement d'un bord avant recollement ; introduit la non-orientabilité.
- ⊛
- Cône — écrase un bord en un point (ajoute un pôle). Ex. : disque → sphère.
- ⊛²
- Suspension — deux cônes, un par pôle : ΣX = CX ∪_X CX. Ex. : Σ(S¹) = S² (cylindre → sphère).
- ↯
- Involution antipodale — identification x ↔ −x sur la sphère ; le quotient S²/↯ est exactement ℝP².
- ⋈
- Duplication — recollement de deux copies le long du bord commun. Ex. : Möbius ⋈ Möbius = Klein (M ∪_∂ M = K²).
- ⇥
- Immersion — plongement avec auto-intersections autorisées dans ℝ³.
- ⇉
- Immersion (cross-cap) — immersion de ℝP² dans ℝ³ avec un point de pincement et une ligne de double point (non lisse).
- ⇶
- Immersion lisse (Boy) — immersion lisse de ℝP² dans ℝ³ sans pincement ; présence d'un point triple (Boy, 1901).